Константа Коморника — Лорети

В математической теории нестандартных позиционных систем счисления константа Коморника — Лорети — это математическая константа, представляющая наименьшее основание q, для которого число 1 имеет уникальное представление, называемое его q-разверткой. Константа названа в честь Вилмоса Коморника и Паолы Лорети, которые дали ей определение в 1998 году.

Определение

Для действительного числа [math]\displaystyle{ q \gt 1 }[/math] ряд

[math]\displaystyle{ x = \sum_{n=0}^\infty a_n q^{-n} }[/math]

называется q-расширением или [math]\displaystyle{ \beta }[/math] -расширение, положительного действительного числа x, если для всех [math]\displaystyle{ n \geq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ 0 \le a_n \le \lfloor q \rfloor }[/math], где [math]\displaystyle{ \lfloor q \rfloor }[/math] — целая функция, а [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math] не обязательно должно быть целым числом. Любое действительное число [math]\displaystyle{ x }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ 0 \le x \le q \lfloor q \rfloor/(q-1) }[/math] имеет такое расширение, которое можно найти с помощью жадного алгоритма.

Особый случай: [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ a_{0} = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ a_{n} = 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ 1 }[/math] иногда называют q-разработкой. [math]\displaystyle{ a_n = 1 }[/math] дает только 2-развертку. Однако почти для всех [math]\displaystyle{ 1 \lt q \lt 2 }[/math] существует бесконечное количество различных q-разработок. Ещё более удивительно то, что существуют исключительные [math]\displaystyle{ q \in (1,2) }[/math], для которых существует только одна q-разработка. Кроме того, существует наименьшее число [math]\displaystyle{ 1 \lt q \lt 2 }[/math], известное как константа Коморника — Лорети, для которого существует уникальная q-развертка.

Значение

Константа Коморника — Лорети — это значение q, такое что

[math]\displaystyle{ 1 = \sum_{n=1}^\infty \frac{t_k}{q^k} }[/math]

где [math]\displaystyle{ t_{k} }[/math] — последовательность Морса — Туэ, то есть [math]\displaystyle{ t_{k} }[/math] — четность числа единиц в двоичном представлении [math]\displaystyle{ k }[/math]. Имеет приблизительную стоимость

[math]\displaystyle{ q=1.787231650\ldots. \, }[/math]

Константа [math]\displaystyle{ q }[/math] также является единственным положительным вещественным корнем

[math]\displaystyle{ \prod_{k=0}^\infty \left ( 1 - \frac{1}{q^{2^k}} \right ) = \left ( 1 - \frac{1}{q} \right )^{-1} - 2. }[/math]

Эта константа трансцендентна.

См. также

• Постоянная Эйлера — Маскерони
• Последовательность Рудина — Шапиро
• Слово Фибоначчи